Tugas 2. Materi+Contoh soal pembahasan

Elsa Viergi Maharani, XI ipa 6

IDENTITAS TRIGONOMETRI PENJUMLAHAN dan SELISIH DUA SUDUT

1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Untuk memahami rumus cosinus perhatikan gambar di bawah. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan :

Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)

AC = BD maka AC2 + DB2

{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2

cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +

sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A

2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B

2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus cosinus jumlah dua sudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Dengan cara yang sama, maka:

cos (A – B) = cos (A + (–B))

cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Untuk lebih memahami aplikasi dari rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, silahkan anda pelajari contoh soal berikut.

Contoh soal rumus cosinus

Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan

Cos (A – B).

Penyelesaian:

Cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13

Sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25

Cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B

                   = 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25

                   = 35/325 – 288/325

                   = − 253/325

Cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B

                   = 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25

                   = 35/325 + 288/325

                   = 323/325

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perhatikan uraian berikut:

Sin (A – B) = sin {A + (–B)}

                 = sin A cos (–B) + cos A sin (–B)

                 = sin A cos B – cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut

Sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Untuk lebih memahami tentang aplikasi rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut silahkan perhatikan contoh soal berikut ini

Contoh soal rumus sinus:

Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan

Sin (A – B).

Penyelesaian:

Cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)

Sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)

Sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

                  = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13

                  = –36/65 – 20/65

                  = – 56/65

Sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

                  = 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13

                  = –36/65 + 20/65

                  = – 16/65

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus tangen jumlah dua sudut:

Tan(A+B)=\frac{tan A + tan B}{1 – tan A tan B}

Tan(A-B)=\frac{tan A – tan B}{1 + tan A tan B}

Contoh soal rumus tangen:

Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.

Penyelesaian:

Tan 105° = tan (60 + 45)°

              = tan 60° tan 45°

                 1 tan60 tan45

              =\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\times \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}

=\frac{4+2\sqrt{3}}{1-3}=-2+\sqrt{3}